物理层原理

本节阐述 SparkLink SLE 物理层中关键信号处理模块的数学原理。

Polar 编码

信道极化

Polar 码基于信道极化现象: 对 \(N\) 个独立信道实例做线性变换后, 各子信道的可靠性出现分化 --- 部分子信道的容量趋近 1, 其余趋近 0。Arikan 证明当 \(N \to \infty\) 时, 这种分化是完全的。

核心变换矩阵为 Kronecker 幂:

\[\begin{split} G_N = B_N \cdot F^{\otimes n}, \quad F = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad N = 2^n \end{split}\]

其中 \(B_N\) 为比特翻转置换矩阵。编码过程:

\[ x = u \cdot G_N \]

其中 \(u\) 的冻结位 (低可靠性子信道) 设为 0, 信息位放在高可靠性子信道上。

可靠性序列

SparkLink SLE 标准 6.9.1.4 节定义了固定的可靠性排序表, 给出每个子信道的可靠性排名。编码器根据码率 \(R = K/N\) 选取最可靠的 \(K\) 个位置放置信息比特, 其余位置填充已知冻结位。

SC 解码

逐次消除 (Successive Cancellation) 解码器按自然序逐位判决。对第 \(i\) 位:

  • 若 \(i\) 是冻结位, 直接判为 0。

  • 若 \(i\) 是信息位, 按 LLR 符号做硬判决: \(\hat{u}_i = \begin{cases} 0, & L_i \geq 0 \\ 1, & L_i < 0 \end{cases}\)。

LLR 递归计算依赖两个基本运算:

\[ f(a, b) = 2 \tanh^{-1}\!\bigl(\tanh(a/2) \cdot \tanh(b/2)\bigr) \approx \operatorname{sign}(a) \cdot \operatorname{sign}(b) \cdot \min(|a|, |b|) \]
\[ g(a, b, s) = (-1)^s \cdot a + b \]

其中 \(a, b\) 是来自子节点的 LLR, \(s\) 是已判决的上层比特。

PSK 调制

星座映射

SparkLink SLE 支持 BPSK, QPSK 和 8PSK 三种调制方式, 星座点定义为:

\[ s_k = e^{j 2\pi k / M}, \quad k = 0, 1, \ldots, M-1 \]

其中 \(M \in \{2, 4, 8\}\)。比特到符号的映射采用格雷编码, 相邻星座点仅差 1 bit, 降低高信噪比下的比特错误率。

RRC 脉冲成型

根升余弦 (Root Raised Cosine) 滤波器的频域响应为:

\[\begin{split} H(f) = \begin{cases} 1, & |f| \leq \frac{1-\alpha}{2T} \\ \cos\!\left(\frac{\pi T}{2\alpha}\left(|f| - \frac{1-\alpha}{2T}\right)\right), & \frac{1-\alpha}{2T} < |f| \leq \frac{1+\alpha}{2T} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \end{split}\]

其中 \(\alpha\) 为滚降系数, \(T\) 为符号周期。收发两端各用一个 RRC 滤波器, 级联后等效为升余弦滤波器, 满足 Nyquist 无码间干扰准则。标准规定 \(\alpha = 0.5\), 每符号采样数 \(L = 4\)。

GFSK 调制

高斯频移键控的瞬时频率偏移为:

\[ f(t) = h \cdot \sum_k a_k \cdot g(t - kT) \]

其中 \(h\) 为调制指数, \(a_k \in \{-1, +1\}\) 为数据符号, \(g(t)\) 为高斯脉冲 (带宽时间积 \(BT\)):

\[ g(t) = \frac{1}{2T}\left[\operatorname{erf}\!\left(\frac{\pi}{\sqrt{\ln 2}} \cdot BT \cdot \frac{t + T/2}{T}\right) - \operatorname{erf}\!\left(\frac{\pi}{\sqrt{\ln 2}} \cdot BT \cdot \frac{t - T/2}{T}\right)\right] \]

SparkLink SLE 标准规定调制指数 \(h = 0.5\) (最小频移), \(BT = 0.5\)。

信道模型

AWGN

加性高斯白噪声信道:

\[ y = x + n, \quad n \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2) \]

噪声方差与信噪比的关系: \(\sigma^2 = P_s / \text{SNR}_{\text{linear}}\), 其中 \(P_s\) 为信号平均功率。

Rayleigh 衰落

平坦 Rayleigh 衰落模型 (无直射路径):

\[ y = h \cdot x + n, \quad h \sim \mathcal{CN}(0, 1) \]

\(|h|\) 服从 Rayleigh 分布。在准静态模型中, 整个帧使用同一个衰落系数。

Rician 衰落

含直射路径的衰落模型, K 因子定义为直射功率与散射功率之比:

\[ h = \sqrt{\frac{K}{K+1}} + \sqrt{\frac{1}{K+1}} \cdot h_{\text{scatter}}, \quad h_{\text{scatter}} \sim \mathcal{CN}(0, 1) \]

\(K\) 越大表示直射路径越强, \(K \to \infty\) 退化为 AWGN, \(K = 0\) 退化为 Rayleigh。

多径频率选择性

多径信道用有限长 FIR 模型描述:

\[ y(t) = \sum_{l=0}^{L-1} h_l(t) \cdot x(t - \tau_l) + n(t) \]

其中 \(\{h_l, \tau_l\}\) 由功率延迟谱 (PDP) 决定。频率选择性衰落会导致码间干扰, 需要均衡器恢复。

Doppler 衰落与 Jakes 模型

移动通信中, 收发端相对运动引起 Doppler 频移, 使信道系数随时间变化。最大 Doppler 频移为:

\[ f_d = \frac{v \cdot f_c}{c} \]

其中 \(v\) 为相对速度, \(f_c\) 为载波频率, \(c\) 为光速。

Clarke 模型指出, 在各向同性散射环境中, 时变信道的自相关函数为零阶第一类 Bessel 函数:

\[ R(\Delta t) = J_0(2\pi f_d \Delta t) \]

实现上采用 Jakes 求和正弦模型。\(N\) 个振荡器的叠加构造时变衰落系数:

\[ h(t) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=1}^{N} e^{j(2\pi f_d \cos\alpha_n \cdot t + \theta_n)} \]

其中到达角 \(\alpha_n\) 均匀分布于 \([0, 2\pi)\), 初始相位 \(\theta_n\) 随机。当 \(N\) 足够大时, 该过程的统计特性趋近于真实的 Clarke 模型:

  • 实部和虚部近似独立高斯

  • 包络近似 Rayleigh 分布

  • 自相关函数趋近 \(J_0(2\pi f_d \Delta t)\)

对于 Rician 信道, 散射分量使用 Jakes 模型, 直射路径叠加固定相位:

\[ h(t) = \sqrt{\frac{K}{K+1}} \cdot e^{j 2\pi f_d t} + \sqrt{\frac{1}{K+1}} \cdot h_\text{Jakes}(t) \]

\(f_d = 0\) 时退化为准静态衰落 (整帧恒定系数), \(f_d\) 较大时信道在帧内快速变化, 对均衡器和解码器构成严峻挑战。

多用户干扰模型

多用户干扰 (MUI) 建模为叠加在目标信号上的外部噪声源。第 \(i\) 个干扰者的信干比定义为:

\[ \text{SIR}_i = \frac{P_\text{signal}}{P_{\text{interferer},i}} \]

信干噪比的综合计算:

\[ \text{SINR} = \frac{P_\text{signal}}{P_\text{noise} + \sum_{i=1}^{M} P_{\text{interferer},i}} \]

邻信道干扰还需考虑频率偏移。第 \(i\) 个干扰信号经频率搬移后叠加:

\[ y(t) = s(t) + \sum_{i=1}^{M} \sqrt{\frac{P_s}{\text{SIR}_i^\text{linear}}} \cdot z_i(t) \cdot e^{j 2\pi \Delta f_i t} + n(t) \]

其中 \(z_i(t)\) 为归一化功率的随机干扰基带信号, \(\Delta f_i\) 为干扰者与目标信号之间的频率偏移。当 \(\Delta f_i = 0\) 时为同信道干扰, \(\Delta f_i \neq 0\) 时为邻信道干扰, 接收滤波器对邻信道有一定衰减。

均衡器

ZF 均衡

迫零均衡在频域直接求逆:

\[ \hat{X}(k) = \frac{Y(k)}{H(k)} \]

优点是完全消除 ISI, 缺点是在信道零点处放大噪声。

MMSE 均衡

最小均方误差准则在消除 ISI 和抑制噪声之间取平衡:

\[ \hat{X}(k) = \frac{H^*(k)}{|H(k)|^2 + \sigma_n^2 / \sigma_x^2} \cdot Y(k) \]

当 SNR 较高时趋近 ZF; SNR 较低时自动减小增益, 避免噪声放大。

1-tap 均衡

对平坦衰落信道, 信道系数为标量 \(h\), MMSE 均衡退化为单抽头:

\[ \hat{x} = \frac{h^*}{|h|^2 + \sigma^2} \cdot y \]

CRC 校验

循环冗余校验通过多项式除法检测传输错误。SparkLink SLE 定义了四种 CRC:

类型

长度

生成多项式

用途

CRC12

12 bit

\(x^{12} + x^{11} + x^3 + x^2 + x + 1\)

FT1/FT2 头部

CRC24A

24 bit

\(x^{24} + x^{23} + x^6 + x^5 + x + 1\)

数据载荷

CRC24B

24 bit

\(x^{24} + x^{23} + x^{14} + x^{12} + x^{8} + 1\)

FT3/FT4 头部

CRC32

32 bit

ITU-T CRC-32

MAC 层

CRC24B 在 FT3/FT4 中使用种子 \(\text{seed} = \texttt{0x555555} \oplus \text{LLID}\), 提供与链路标识绑定的完整性保护。

码块分割

当数据长度超过单个 Polar 码块容量时, 需要分割为多个码块:

  • segment_without_crc (FT2): 按 Polar 码块大小 \(N\) 和信息位数 \(K\) 将数据切分, 各段独立编码。

  • segment_with_crc (FT3/FT4): 每个分割段额外附加一个小 CRC, 为每段提供独立的错误检测能力。

分割后每段独立进行 Polar 编码、速率匹配和调制, 接收端逆序处理。

加扰

信道比特加扰使用 Galois 线性反馈移位寄存器 (LFSR), 生成伪随机序列与编码比特异或:

\[ c_{\text{scrambled}}(i) = c(i) \oplus s(i) \]

加扰的目的是打散长连续 0/1 序列, 改善信号的频谱特性和定时恢复性能。解扰时使用相同的初始种子重新生成序列即可恢复原始比特。